Monica Ugaglia
POTENZA E ATTO
L’INFINITO IN ARISTOTELE E LEIBNIZ
Abstract
Leibniz articulates a peculiar conception of
infinity, one that is simultaneously potential and actual. How can such a
notion be coherent?
This is possible insofar as
the potential aspect corresponds to Aristotle’s notion of potential infinity (potentiality A),
understood as processual or syncategorematic. The actual aspect, however,
refers to a different kind of potentiality (potentiality L), which Leibniz
attributes to the infinite in addition to potentiality A.
Keywords
Aristotle, Leibniz, Infinite, Potentiality, Actuality
Author
Monica Ugaglia
Università del Piemonte Orientale
https://orcid.org/0000-0002-3150-4346
English Title
Potentiality and Actuality:
The
Infinite in Aristotle and Leibniz
Introduzione
Nella fase matura della sua elaborazione filosofica Leibniz
perviene ad una concezione piuttosto originale della composizione degli oggetti
fisici. Come è noto, per Leibniz gli oggetti fisici non costituiscono la realtà
– che è prerogativa delle sostanze metafisiche – ma si limitano ad
“esprimerla”, in modo imperfetto. In questo contesto, il modo in cui un oggetto
fisico può essere analizzato nelle sue parti ultime deve “esprimere” il modo in
cui una sostanza metafisica risulta dalle sue componenti ultime, e cioè dalle
sostanze individuali. In particolare, deve esprimere il fatto che queste
componenti sono infinite in atto.
Leibniz descrive questo stato di cose affermando che “la materia è divisa in atto in parti più piccole di qualsiasi
grandezza data, ovvero che non esiste parte che non sia in atto suddivisa in
altre”[1] e che “sebbene tali divisioni procedano all'infinito, tuttavia
tutto risulta da certi elementi primi costitutivi, o unità reali, che però sono
in numero infinito”.[2]
In quanto segue mi occuperò di queste affermazioni di Leibniz sulla
divisibilità dei corpi fisici e della nozione di infinito che ne consegue: un
infinito che tiene insieme aspetti di potenzialità “sebbene
tali divisioni procedano all’infinito” e di attualità “tuttavia tutto risulta
da certi elementi primi costitutivi, o unità reali”. Mostrerò in particolare
come, nel contesto della fisica di Leibniz, questa coesistenza di potenzialità
ed attualità non porti a contraddizione, come accadrebbe invece se tentassimo
di tradurre il concetto in termini matematici. In tal caso, infatti, come
afferma lo stesso Leibniz, “ci cacceremmo nel labirinto del continuo, e in
contraddizioni inestricabili”.[3]
Comincerò con l’analisi della prima prerogativa dell’infinito
fisico di Leibniz, e cioè la potenzialità associata alla divisione infinita, di
cui metterò in evidenza il carattere processuale, in ultima analisi
riconducibile alla definizione aristotelica di infinito. Chiamerò questa forma
di potenzialità, quella che per Leibniz caratterizza l’infinito
sincategorematico, potenzialità A o iteratività.
Nella sezione 2 mi concentrerò sulla seconda caratteristica che emerge per Leibniz dalla
divisione infinita dei corpi fisici, e cioè l’attualità delle parti. Mostrerò
come questa attualità non sia da intendersi in relazione alla potenzialità A,
bensì ad una seconda forma di potenzialità, che denominerò per convenienza
potenzialità L, che Leibniz riconosce nella divisione infinita del continuo. A
differenza della potenzialità A, che è per definizione incompatibile con
qualsiasi idea di attualità, la potenzialità L può essere associata ad una
particolare forma di attualità, che denominerò attualità L, senza che ciò
generi contraddizione; almeno non dal punto di vista di Leibniz.
Servendomi della distinzione tra potenzialità A e potenzialità L
giustificherò infine la presenza, nel sistema leibniziano, di due differenti
forme di infinito potenziale: l’infinito del continuo
matematico, che è al contempo sincategorematico e potenziale (potenzialità A e
potenzialità L), e l’infinito dei corpi fisici,
che può essere definito al contempo sincategorematico e attuale (potenzialità A
e attualità L).
1. Potenza senza atto: l’infinito in Aristotele
Nei suoi testi Aristotele nega in modo sistematico l’esistenza di
qualsiasi forma di infinito in atto. L’universo, cioè il complesso di
tutto ciò che esiste, risulta per lo Stagirita finito sia in grandezza sia in
molteplicità: è una sfera di raggio finito, che contiene un numero finito di
corpi. Nell’universo di Aristotele l’infinito non può dunque esistere, né come
sostanza,[4] né come attributo di una sostanza.[5] Può tuttavia esistere, e di fatto esiste, come attributo di un
processo. Che è come dire che esiste non in quanto è “qualcosa” ma in quanto “è
in virtù di qualcosa”, secondo la celebre definizione che troviamo nella Fisica:
A L’infinito esiste in questo
modo, in virtù del fatto che [A1] si prenda via via (ἀεί) una cosa dopo l’altra; e [A2] cio che viene preso via via (ἀεί)
è finito; ma [A3] è
via via (ἀεί) diverso (Ph.
III 6.206a27-29).
È evidente che non ci troviamo qui di fronte a una definizione
aristotelica nel senso canonico, ma piuttosto ad una descrizione di tipo
operativo. Aristotele non descrive un oggetto, bensì un’azione – l’azione del
“prendere” – e la ripetizione indefinita di tale azione, segnalata con
insistenza dall’avverbio aei. Ogni volta che
si prende qualcosa (primo passo), c’è un’altra cosa da prendere (secondo
passo), poi un’altra ancora (terzo passo), e così via (aei, passi successivi), senza che il processo giunga mai ad una
conclusione.
L’esempio paradigmatico di infinito potenziale, al quale Aristotele
riconduce ogni altra possibile manifestazione dell’infinito, è il continuo.[6] Nella Fisica il continuo è descritto come “infinitamente
divisibile”,[7] o, in maniera più operativa, come “divisibile in ciò che è via
via divisibile” (aei diaireton).[8] Si consideri un segmento, o una linea fisica: esso è divisibile
(primo passo), e ciò che si ottiene da questa divisione è ancora divisibile
(secondo passo), e la nuova parte ottenuta è ancora divisibile (terzo passo), e
così via (aei, passi successivi). È immediato
verificare che siamo in presenza di tutte le richieste che Aristotele avanza
nella sua definizione dell’infinito:
[A1] ad ogni divisione segue una
divisione; [A2] il risultato della divisione, e cioè i pezzi di segmento
che vengono via via prodotti, è finito e [A3] via via diverso.
Notiamo che, pur applicandosi primariamente al processo, in questo
caso al processo di divisione del segmento, l’attributo ‘infinito’ può essere riferito anche a ciò che viene via via
prodotto dal processo, e cioè ai pezzi, via via più piccoli, in cui il segmento
viene diviso. È quindi lecito affermare che le parti in cui un segmento può
essere diviso sono potenzialmente infinite, ma quando lo si faccia è necessario
tenere a mente il fatto che, propriamente parlando, quel che è infinito non
sono le parti ma la procedura che consente di ottenere quelle parti. Le parti
esistono, e sono infinite, solo nella misura in cui esiste, ed è infinito, il
processo che le genera. Se si interrompe il processo di divisione, e questo
vale a qualunque punto lo si interrompa, anche l’infinito viene meno. Una volta
interrotto il processo, infatti, quel che resta è un insieme finito di pezzi,
di grandezza finita [A2].
Lo stesso discorso vale per i numeri, anch’essi definiti da Aristotele a partire dalla divisione del
continuo. Immaginiamo ancora il procedimento di divisione del segmento, ma
associamo adesso ad ogni divisione un’etichetta numerica: immaginiamo cioè di
contare i passi della procedura di divisione: uno, due, tre… Poiché ogni passo
della procedura implica un passo successivo, ogni numero raggiunto implica un
numero successivo, e questo un altro ancora, e così via. Anche in questo caso
sono rispettate le richieste avanzate nella definizione: [A1] ad ogni
numero segue un numero; [A2] il numero raggiunto ad ogni passo è finito e [A3] via via diverso.
In questo senso – e solo in questo senso –
si può parlare di un numero infinito: non perché ci sia un insieme infinito di
oggetti che possiamo contare (pensiamo alle parti del segmento), ma perché c’è
un processo infinito di generazione di tali oggetti. Questo implica che il
numero infinito non esista separatamente dal processo che lo definisce: esiste
solo in virtù di, e insieme a, questo processo, vale a dire unicamente in
quanto sussiste la possibilità che il processo continui.
È
anche ragionevole che nel numero ci sia un limite verso il minimo, ma verso il
più si ecceda via via ogni molteplicità […] verso il più è sempre
possibile pensare un numero più grande, e questo perché i dimezzamenti (le
dicotomie) della grandezza sono infiniti. Così il numero infinito non c’è in
atto ma in potenza: quello che viene preso eccede via via ogni molteplicità
determinata. Però questo numero non è separabile dal processo di dimezzamento
(dicotomia) (Ph. III 7.207b10-13).
L’infinito del numero, così come l’infinito della divisione, non
si riferisce insomma al risultato di una procedura bensì alla procedura in sé.
Del resto, la nozione stessa di risultato di una procedura genuinamente
iterativa è contraddittoria. Come dovrebbe essere fatto questo risultato?
Torniamo ancora una volta al processo di divisione del continuo e immaginiamo
di interromperlo, diciamo al n-esimo passo. Quello che otteniamo è un
insieme di n pezzi, con n ovviamente finito, di lunghezza via via
decrescente ma comunque finita. A ciascuno di questi pezzi possiamo dunque
continuare ad applicare la procedura di divisione, il che è in accordo con il
fatto che nessuno di essi può essere pensato come risultato del processo. Per
quanto grande sia n, c’è sempre la possibilità di fare il passo n+1-esimo,
e così via.
Detto in altri termini non c’è, per definizione,
un ultimo passo di una procedura iterativa, dunque non c’è un risultato, e
dunque non c’è alcun atto associabile alla sua potenzialità: non solo
l’infinito in potenza non prelude ad alcun infinito in atto, ma la nozione
stessa di infinito in atto è contraddittoria, laddove l’infinito sia inteso in
senso genuinamente aristotelico.
Ma come la mettiamo, ci si potrebbe a questo punto domandare, con
il senso, anch’esso genuinamente aristotelico, della contrapposizione potenza-atto?
La potenzialità altrove teorizzata da Aristotele è infatti una potenzialità che
non solo non è incompatibile con la sua attualità ma è da essa determinata.
Pensiamo all’esempio tipico del blocco di marmo, che è in potenza una statua
perché arriverà, o comunque potrà arrivare, ad essere una statua in atto; o al
seme, che è in potenza un albero perché arriverà, se niente lo impedisce, ad
essere un albero. È la statua in atto, sia essa nella mente dell’artista o dove
che sia, che dà senso alla statua in potenza, così come è l’albero in atto che
dà senso al seme. Come può esistere, in un simile contesto, una potenzialità
senza atto?
La risposta è semplice: non può
esistere, ed è infatti lo stesso Aristotele, all’inizio della trattazione
dell’infinito, a metterci in guardia sulla necessità di cambiare prospettiva.
Quando parliamo della potenza dell’infinito, ci avvisa Aristotele, non stiamo
parlando della potenza cui vi ho abituati, quella della statua per intenderci.
Per usare le sue parole:
Non si deve prendere “in potenza” nel senso che se è
possibile che questo sia una statua, allora questo sarà una statua, così c’è
anche un infinito che sarà in atto (Ph.
III 6.206a18-21).
Piuttosto, chiarisce Aristotele nelle righe che seguono, bisogna
analizzare i diversi modi in cui si dice “essere” e considerare quale sia
quello corretto da associare all’infinito quando diciamo che “l’infinito è in
potenza”. L’infinito infatti non è nel modo in cui
diciamo che “la statua è” – in potenza o in atto, non importa. Piuttosto,
quando diciamo che l’infinito è, impieghiamo il verbo essere in modo analogo a
quando diciamo che “la giornata è” o che “la gara è”, per indicare cioè non il
darsi di un oggetto, ma il venire ad essere via via (aei) di un processo:
Mentre però la giornata, o la
gara, sono processi che pervengono ad un termine, o se vogliamo a un risultato,
e non possiamo pertanto associare ad essi l’attributo ‘infinito’, esistono
processi come quelli genuinamente iterativi considerati sinora che non solo
ammettono, ma stabiliscono il senso dell’attributo ‘infinito’, e ne definiscono
la peculiare potenzialità. Per questa ragione in quanto segue chiamerò ‘iterativo’
l’infinito teorizzato da Aristotele, e iteratività, o
potenzialità A, la forma di potenzialità che lo
caratterizza.[9]
Seguendo la tradizione dei logici medievali Leibniz chiamerà questo stesso tipo di infinito “sincategorematico”.
Esiste
un infinito sincategorematico, ossia una potenza passiva dotata di parti, vale
a dire la possibilità di un continuare oltre (ulterioris progressus) nella divisione,
moltiplicazione, sottrazione e addizione (Leibniz a Des Bosses, 1706; G II,
314-315).[10]
Che lo si chiami potenziale o sincategorematico, ciò che importa
qui ribadire è che questo genere di infinito, legato alla nozione di iterazione
– il prendere altro di Aristotele o il continuare oltre di Leibniz – è
incompatibile con la sua attualizzazione:
A
rigor di termini, è vero che vi è un’infinità di cose, cioè che ce ne sono
sempre di più di quante se ne possano assegnare. Ma non esiste un numero
infinito, né una linea o un’altra quantità infinita, se le si considera come
dei veri e propri Tutti, come è facile dimostrare. Le
scuole hanno voluto (o avrebbero dovuto) dire questo, ammettendo un infinito
sincategorematico, come si dice, e non un infinito categorematico (Nouveaux essais sur l’entendement
humain, II. XVII).[11]
2. Potenza e atto: l’infinito in Leibniz
Abbiamo visto come per Aristotele la potenzialità dell’infinito si
riduca ad una questione di iterazione, e venga in ultima analisi a coincidere
con la possibilità, presente ad ogni passo di un processo genuinamente
iterativo, di passare a quello successivo. Mi sono riferita a questa forma di
potenzialità con il termine ‘iteratività’, o ‘potenzialità A’ o
anche ‘sincategorematicità’, con riferimento all’infinito sincategorematico più volte citato da Leibniz.
2.1 L’infinito sincategorematico e potenziale della matematica
Per Leibniz come già per Aristotele l’infinito si manifesta
innanzitutto nella divisione del continuo, con la sola differenza che
Aristotele chiama le divisioni, e di conseguenza le parti del
continuo potenziali, mentre Leibniz preferisce chiamarle possibili, o
indefinite:
Ma
il continuo matematico consiste nella pura possibilità, come i numeri (Leibniz
a Des Bosses, 1713).[12]
Per
quanto riguarda in primo luogo il fatto che il corpo matematico non può essere
risolto nei suoi primi costitutivi, da ciò si deduce appunto che esso non è
reale, ma qualcosa di mentale, che non indica altro se non la possibilità delle
parti, non qualcosa di attuale. Infatti, la linea matematica si comporta come l’unità
aritmetica: in entrambi i casi le parti non sono che possibili e del tutto
indefinite; e la linea non è più un insieme delle linee in cui può essere
divisa, di quanto l’unità non sia un insieme delle frazioni in cui può essere
spezzata (Leibniz a De Volder, 30 giugno 1704).[13]
Come mostrano le date delle lettere da cui sono tratti i passi,
questa posizione, assunta da Leibniz all’inizio della sua indagine
sull’infinito, sarà mantenuta nella maturità: in matematica – e, come vedremo,
solo in matematica – l’infinito è potenziale, nel senso della potenzialità A:
Aristotele
ha spiegato molto bene il pieno e la divisione del continuo, contro gli
atomisti (Remarques sur la doctrine Cartesienne).[14]
Anche
la materia possiede una quantità, ma indeterminata, come dicono gli Averroisti,
o indefinita: infatti, finché è continua, non è divisa in parti, e quindi in
essa non vi sono termini dati in atto (Leibniz a Thomasius, aprile 1669).[15]
Occorre però a questo punto osservare che la potenzialità A non è
l’unica modalità attraverso cui si può leggere la potenzialità nella divisione
del continuo, e di conseguenza nell’infinito. Riprendiamo l’esempio del
segmento e immaginiamo di dividerlo a metà, come prima. In termini un po’ più
tecnici, questo significa dividere a ½ (metà), ¼ (metà della metà), ⅛ (metà
della metà della metà), e così via… cioè dividere seguendo la successione convergente a(n) = 1/2n.
Ora, cosa cambia se dividiamo a un terzo, anziché a metà? O a un quarto? O
secondo un qualsiasi altro rapporto? Cosa cambia cioè se in luogo della
successione convergente a(n) = 1/2n, che impone di dividere a 1/2,
1/22, 1/23, …, 1/2n,…
utilizziamo la successione convergente a(n) = 1/3n, che impone di
dividere a 1/3, 1/32, 1/33, …, 1/3n,…
o la successione a(n) = 1/4n, che impone di dividere a 1/4, 1/42,
1/43, …, 1/4n,… o in generale la
successione a(n) = 1/mn, che impone di
dividere a 1/m, 1/m2, 1/m3, …, 1/mn,…? Ovviamente
non cambia nulla: in ogni caso otteniamo una procedura iterativa infinita, una
per ogni numero che possiamo sostituire a m nella formula a(n) = 1/mn. E se consideriamo che i numeri sono
infiniti, ci troviamo di fronte a infiniti modi possibili, e del tutto
equivalenti, di dividere infinitamente il segmento.
C’è dunque un altro senso, non iterativo, in cui si può affermare
che le divisioni (o, più precisamente, le leggi della divisione) di un segmento
sono potenzialmente infinite. E c’è un’altra forma di potenzialità, quella
associata alle infinite possibili leggi di divisione infinita, che chiamerò
potenzialità L. Nella divisione del continuo le due potenzialità coesistono e
il segmento può dirsi potenzialmente infinito in due sensi: è infinito secondo
la potenzialità L, perché ci sono infiniti modi per tagliarlo, uno per ogni m;
è infinito secondo la potenzialità A, perché una volta scelto in che modo
tagliarlo ciò avviene per mezzo di una procedura iterativa, che non ha fine
(1/m, 1/m2, 1/m3, …, 1/mn…).
In altri termini, possiamo affermare che per Leibniz l’infinito della
matematica è sincategorematico (potenzialità A) e potenziale
(potenzialità L).[16]
Per Aristotele è solo la potenzialità A
che conta. Per motivi piuttosto chiari – pensiamo a Zenone – egli utilizza
spesso la divisione a metà, cioè la divisione secondo il rapporto ½, ma la
scelta di un diverso rapporto non ha per lui alcuna importanza, ai fini della procedura:
Se
qualcuno, infatti, avendo cominciato a prendere nella grandezza limitata una
parte definita, andasse avanti a prendere secondo uno stesso rapporto […] non
verrebbe a capo dell’infinito (Ph. III
6.206b7-9).
Per Leibniz, al contrario, la possibilità di fissare il rapporto
avrà una grande importanza, e ciò per una ragione fondamentale: a differenza
della sincategorematicità, che per definizione è in
contraddizione con qualsiasi forma di attualità, la potenzialità L non è a
priori incompatibile con l’attualità.
Torniamo al segmento e alle infinite possibili successioni di
taglio, ma ora supponiamo di fissarne una: a questo punto anche la posizione
dei tagli risulta fissata, cosicché la possibilità di
dividere ovunque viene meno, e con essa la potenzialità L. Se la successione
fissata è a(n) = 1/3n, i tagli saranno posti a 1/3, 1/9, 1/27 ecc…. mentre se la
successione fissata è a(n) = 1/5n saranno posti a 1/5, 1/25, 1/125, ecc… e così via. Chiamerò questa situazione, in cui la
potenzialità L è collassata su una delle possibili scelte di m, attualità L.
Leibniz descrive questa situazione in termini molto chiari quando
scrive a Bernoulli:
Supponiamo
che sulla linea siano dati 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 etc
e che tutti i termini di questa serie esistano in atto (Leibniz a Joh.
Bernoulli, 1698).[17]
Notiamo che qui Leibniz sta ragionando per assurdo: è vero che in
matematica i tagli non sono fissati, e che una linea può essere divisa ovunque,
ma supponiamo, per assurdo, che le cose non stiano così. Supponiamo cioè di
trovarci in una situazione in cui il segmento è divisibile in potenza
(potenzialità A) in parti che però sono in atto (attualità L).
Aristotele obietterebbe che la situazione descritta non ha senso,
perché l’ipotesi che facciamo è in contraddizione con la definizione
stessa di continuo. E di fatto così obietta anche Bernoulli, che nel seguito
della corrispondenza da cui è tratto il passo precedente rifiuta di prendere in
considerazione l’ipotesi di Leibniz, in quanto intraducibile in termini
matematici.
Il punto è che Leibniz qui non sta parlando da
matematico: sta parlando da fisico, e dal suo punto di vista questo fa una
grande differenza.
2.2 L’infinito sincategorematico e attuale della fisica
L’esempio della linea divisa in atto secondo la successione 1/2,
1/4, 1/8, 1/16, 1/32 etc., su cui Leibniz e Bernoulli si trovano in disaccordo,
è un esempio matematico, ma il problema che l’esempio sarebbe inteso chiarire è
un problema di filosofia naturale, su cui i due corrispondenti stanno
dibattendo da qualche lettera, e continueranno a dibattere.[18]
La questione del contendere è un’affermazione di
Leibniz, secondo cui mentre un oggetto matematico è divisibile all’infinito in
parti che sono solo in potenza, un corpo fisico è divisibile all’infinito in
parti che sono già in atto. L’affermazione è ribadita più volte da Leibniz, in
termini molto chiari, prima e anche dopo la discussione con Bernoulli, le cui
obiezioni matematiche non hanno evidentemente avuto grande effetto:
La
materia non è soltanto divisibile all’infinito, ma ogni parte della materia è
già attualmente divisa in altre parti (Lettera ad Arnauld, 28 novembre-8
dicembre 1686).[19]
La
differenza tra il modo in cui una linea è costituita da punti e il modo in cui
la materia è costituita da sostanze, che sono in essa, è la seguente: il numero
dei punti non è determinato, ma il numero delle sostanze, anche se infinito, è
tuttavia reale e determinato, perché deriva da una divisione attuale della
materia, e non da una divisione meramente possibile. La materia non è divisa in
ogni modo possibile, ma soltanto secondo una proporzione determinata, come
accade in una macchina, in uno stagno, o in un gregge. Una linea non è un
aggregato di punti, mentre un corpo è un aggregato di sostanze (Communicata ex disputationibus
cum Fardella).[20]
In
verità, la materia non è un continuo, ma un discreto, attualmente diviso
all’infinito (Lettera a De Volder, 11 ottobre 1705).[21]
Del
resto, per passare dalle idee della geometria alle realtà della fisica,
stabilisco che la materia sia effettivamente divisa in parti sempre più
piccole, per quanto piccole si vogliano, cioè che non esiste alcuna parte che
non sia attualmente suddivisa in altre che esercitano movimenti differenti
(Leibniz a Des Bosses 11-17 Marzo 1706).[22]
Ci troviamo qui di fronte ad affermazioni del tutto estranee alla
prospettiva aristotelica da cui è partita l’analisi leibniziana dell’infinito.
Leibniz non sta solo dicendo che in natura la successione dei tagli è fissata:
sta dicendo che tutti i tagli lo sono. Sta dicendo insomma che
l’attualità L non riguarda solo la legge, riguarda anche gli infiniti tagli che
essa determina.[23]
In una prospettiva aristotelica, attualizzare la legge della
divisione, cioè fissare la regola che dice dove dividere, non può in alcun modo equivalere ad attualizzare
la totalità delle divisioni: non in matematica e nemmeno in fisica. Sebbene
univocamente determinate, le divisioni restano infinite in senso puramente
potenziale, cioè secondo la potenzialità A, siano esse le divisioni di un
segmento matematico, di una linea tracciata nel diagramma o di un corpo fisico
esteso. In altri termini – ed è questo un passaggio cruciale – per Aristotele non ha senso
parlare di tagli già presenti da qualche parte, prima che essi vengano
realizzati. Quando egli afferma, per esempio, che nel percorso di Zenone ci
sono infinite metà potenziali, intende semplicemente che l’azione di dividere
il percorso a metà può essere reiterata indefinitamente; non sta affermando che
ci sia ‘qualcosa’ di già presente, delle divisioni potenziali che attendono
solo di essere attualizzate. Nessuna traccia ontologica delle divisioni,
dunque, precede l’atto della divisione.[24]
Questo è vero per Aristotele, ed è stato vero
per il giovane Leibniz, che per un breve periodo, nel tentativo di conciliare
Aristotele con le tesi moderne circa la composizione dei corpi fisici, non
faceva distinzione tra l’estensione degli oggetti matematici e la materia degli
oggetti fisici: sosteneva che entrambe fossero
continue, e dunque divisibili all’infinito in senso puramente potenziale, in
parti anch’esse potenziali.[25]
Solo negli sviluppi successivi del suo pensiero, influenzato da un
lato dagli studi matematici e dall’altro da una ripresa di
prospettive metafisiche fortemente non aristoteliche, Leibniz giunge a
concepire la divisibilità infinita in due modalità radicalmente distinte e tra
loro incompatibili: una modalità che si applica al dominio matematico e un’altra
al dominio fisico.[26] In questa prospettiva matura, mentre un
solido geometrico continua a poter essere tagliato ovunque, un corpo fisico è
caratterizzato, e al tempo stesso vincolato, da una propria legge di divisione:
la materia non è divisa in ogni modo possibile, ma soltanto secondo una
proporzione determinata. Ciò significa che, indipendentemente dal fatto che
qualcuno lo divida, o che tale divisione avvenga effettivamente, i punti in cui
è possibile effettuare i tagli sono già fissati.
In questo senso si può parlare in fisica di un
infinito che è sincategorematico e attuale, dove l’aggettivo
‘sincategorematico’ si riferisce alla potenzialità di tipo A, mentre
l’aggettivo ‘attuale’ si riferisce all’attualità di tipo L. È anzi proprio la
distinzione tra i due tipi di potenzialità, e i due tipi di attualità
corrispondenti, che permette a Leibniz di affermare questa coesistenza senza
incorrere in paradossi logici.
2.3 Il labirinto del continuo
Ma che dire dei paradossi matematici? L’impossibilità di tradurre
in termini matematici la nozione leibniziana di infinito sincategorematico
attuale senza incorrere in assurdi, già posta in rilievo da Bernoulli, è un
dato di fatto piuttosto evidente. In quanto sincategorematico, e cioè
dipendente da un processo, l’infinito è incompatibile con la nozione di
insieme, o di Tutto come dice Leibniz. I passi di un processo infinito, e
quindi le parti prodotte ad ogni passo, sono infiniti ma non formano un Tutto:
A
rigor di termini, è vero che vi è un’infinità di cose, cioè che ce ne sono
sempre di più di quante se ne possano assegnare. Ma non esiste un numero
infinito, né una linea o un’altra quantità infinita, se le si considera come
dei veri e propri Tutti, come è facile dimostrare (Nouveaux
essais sur l’entendement
humain, II. XVII).
In quanto attuali, però, le parti devono poter essere considerate
nella loro totalità, e quello che si ottiene è un insieme, o se vogliamo un
Tutto, di infiniti elementi. Ma ammettendo un siffatto insieme si arriva ai
paradossi della relazione tutto/parti, e al problema del confronto tra infiniti
diversi, come sia Leibniz che Bernoulli sanno bene: o Leibniz fornisce, come
farà Cantor, regole per confrontare insiemi infiniti, o questo paradosso non è evitabile, e la nozione di infinito
sincategorematico e attuale non è matematicamente accettabile.[27] E vorrei sottolineare come non si tratti di
una critica: Leibniz non ha mai sostenuto che l’attualità delle parti fosse una
proprietà matematica, né ha mai cercato di ricondurre l’infinito fisico a
proprietà matematiche.
Al contrario, ha sempre rivendicato la separazione tra il dominio
della fisica e quello della matematica. Di più, ha esplicitamente
messo in guardia il lettore contro i fraintendimenti che inevitabilmente
seguirebbero dai tentativi di mischiare i due piani, confondendo le proprietà
dei corpi fisici con quelle del continuo matematico:
Ed
è la confusione tra l’ideale e l’attuale che ha confuso tutto e creato il
labirinto della composizione del continuo (Remarques
sur les Objections de M.
Foucher, 1695).[28]
Noi invece, confondendo gli ideali con le sostanze reali,
mentre cerchiamo parti attuali nell’ordine dei possibili, e parti indeterminate
nell’aggregato degli attuali, cadiamo noi stessi nel labirinto del continuo e
in contraddizioni inesplicabili (Leibniz a De Volder, 19 gennaio 1706).[29]
L’attualità delle parti di un corpo fisico, sta dicendo Leibniz,
non appartiene all’ambito ideale della matematica, dove non solo è inutile, ma
pericoloso cercarla, perché si cadrebbe in contraddizione. Né deve stupire che
Leibniz, nella fase matura della sua ricerca, si rifiuti di ridurre la fisica
alla matematica.
Il progetto di identificare la fisica con la meccanica, e quindi
con la matematica, che Leibniz aveva intrapreso nella fase iniziale delle sue
ricerche, viene infatti meno ad un certo punto, di fronte all’impossibilità di rendere conto di alcune proprietà fondamentali
degli oggetti fisici:
È a questo punto che Leibniz ristruttura completamente la
relazione tra fisica, matematica e metafisica. La matematica cessa di essere il
fondamento della fisica e diventa al più una sua approssimazione, un’astrazione
utile per descrivere il comportamento degli oggetti ma non per comprenderli. Al
contrario, la metafisica diventa il fondamento reale e ultimo della fisica, che
pur senza coincidere con essa, ne deve “esprimere” la realtà.[31]
In particolare, i corpi fisici devono esprimere la realtà delle sostanze metafisiche, e poiché queste ultime risultano per
Leibniz dall’aggregazione ordinata di sostanze individuali,[32] che sono entità discrete, è necessario che in qualche modo i
corpi fisici rechino traccia dell’individualità, e cioè dell’attualità, di
queste sostanze. Come Leibniz spiega molto chiaramente in una lettera a De
Volder del 5 dicembre 1702 (GP II, 252), ciò non implica che la singola parte
del corpo fisico debba “esprimere” la singola monade, ma piuttosto che la
procedura infinita di analisi del corpo fisico nelle sue parti debba “esprimere” lo stato di sintesi delle
infinite monadi da cui risulta:[33]
Ma
nelle realtà, cioè nei corpi, le parti non sono indefinite (come nello spazio,
che è una cosa mentale), bensì effettivamente determinate in un certo modo,
secondo come la natura ha effettivamente stabilito divisioni e suddivisioni in
base alla varietà dei movimenti; e sebbene tali divisioni procedano all’infinito,
tuttavia tutto risulta da certi primi costitutivi o unità reali, sebbene in
numero infinito. Tuttavia, parlando con precisione, la materia non è composta
da unità costitutive, ma da esse risulta (Leibniz a De Volder, 30 giugno 1704).[34]
Per questo è necessario che le parti siano
infinite e attuali. Questo giustifica, in ultima analisi, il carattere
sincategorematico e attuale dell’infinito come concepito da Leibniz in
fisica, nonché il fatto che, come ogni proprietà di carattere metafisico, esso risulti intraducibile in termini puramente quantitativi.[35]
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[1] “Statuo materiam actu fractam esse in partes quavis data minores, seu nullam
esse partem, quae non actu in alias sit subdivisa diversos motus exercentes” (Leibniz a Des Bosses 11-17 Marzo 1706). Si
veda infra, la sezione 2.2.
[2] “et licet eae divisiones procedant in
infinitum, non ideo tamen minus omnia resultant ex ceteris primis constitutivis
seu unitatibus realibus, sed numero infinitis” (Leibniz a De Volder, 30 giugno
1704). Si veda infra, la sezione 2.2.
[3] “Nos vero idealia cum substantiis realibus
confundentes, dum in possibilium ordine partes actuales, et in actualium
aggregato partes indeterminatas quaerimus, in labyrinthum continui
contradictionesque inexplicabiles nos ipsi induimus” (Leibniz a De Volder, 19
gennaio 1706). Si veda infra, la sezione 2.3.
[4] Ph. III 4.202b36-203a16; cfr. III 5.204a8-34; III
4.203a6-16; III 1.200b27. La lettura
dell’infinito potenziale di Aristotele che presento in questa sezione è basata
su alcuni miei lavori (Ugaglia 2009, 2012, 2018).
Poiché riprendo qui e sviluppo in una prospettiva leibniziana solo gli aspetti
principali della questione, rimando agli articoli citati il lettore interessato
all’argomento in sé e alla sua contestualizzazione nel dibattito aristotelico
contemporaneo.
[5] Ph.
III 4.203a16-b3; cfr. III 5.204b4-206a7.
[6] Di
fatto, non solo la divisione del continuo, ma qualsiasi dimostrazione
matematica che impieghi procedimenti di iterazione infinita – come le
sottrazioni reciproche, il metodo di esaustione, o le argomentazioni basate su
limiti asintotici – può essere interpretata come un esempio di infinito potenziale
nel senso aristotelico. Non sorprende pertanto che Aristotele formuli le sue
definizioni e i suoi esempi servendosi di strutture logiche e terminologiche
che potremmo definire algoritmiche, secondo una scansione che ricalca il
modello delle procedure iterative della matematica. Ho
studiato la questione in Ugaglia (2009) e (2018).
[7] Ph.
III 1.200b18; I 2.185b10-11; VI 6.237a33; VI 8.239a22. È importante notare come
questa non sia la definizione aristotelica del continuo: definire il continuo
come infinitamente divisibile, o divisibile in sempre divisibili, renderebbe
circolare la definizione di infinito. E infatti Aristotele definisce il
continuo senza fare riferimento alla divisibilità, ma ricorrendo alla peculiare
forma di relazione tra le sue parti: “due parti di un intero sono continue
quando sono in contatto e i loro estremi diventano uno” (Ph. V 3.227a11-12;
si veda anche V 4.228a29-30; Cat. 6.4b20-5a14).
L’infinita divisibilità è una conseguenza della definizione, come Aristotele
mostra in GC I 2.316a15-16. Sull’argomento si veda in particolare Miller
(1982) pp. 87-100.
[8] Ph.
VI 2.232b24-25; si veda anche IV 12.220a30; VI 1.231b15-16; VI 6.237b21; VIII 5.257a33-34;
Cael. I 1.268a6-7.
[9]
L’argomento è trattato in dettaglio in Ugaglia (2012) e (2018).
[10] L’identificazione
tra l’infinito sincategorematico della scolastica e l’infinito potenziale
aristotelico, inteso nel senso della potenzialità A, può essere ricondotta a
Pietro Ispano (Summulae Logicales XII). Qui l’autore discute
a lungo dell’infinito, attraverso un’analisi che parte da un problema di logica
e di grammatica, vale a dire come usare i diversi significati del termine
‘infinito’ per sciogliere un sofisma, e giunge ad un’analisi filosofica del
termine stesso. Nell’analisi la contrapposizione logico/grammaticale tra l’uso
sincategorematico di un termine e il suo uso categorematico è ricondotta alla
contrapposizione filosofica tra potenza e atto. Sulla trattazione di Pietro
Ispano si veda Ugaglia e Katz (2022) sezione 2.2; sugli sviluppi medievali
della nozione di infinito sincategorematico si veda Pasini (2025).
[11] “A proprement parler, il est vrai qu’il y a une infinite des choses, c’est à dire qu’il y en a tousjours plus qu’on n’en puisse assigner. Mais il n’y a point de nombre infini ny de ligne ou
autre quantité infinie, si on les prends comme des veritables Touts, comme il
est aisé de demonstrer. Les écoles ont voulu ou du dire cela, en admettant un
infini syncategorematique, comme elles parlent, et non pas
l’infini categorematique” (A VI, 6, 157).
[12] “Continuum vero mathematicum consistit in
pura possibilitate ut numeri”.
[13]
“Quod primum attinet, eo ipso quod corpus mathematicum non potest resolvi in
prima constitutiva, id utique non esse reale colligatur, sed mentale quiddam
nec aliud designans quam possibilitatem partium, non aliquid actuale. Nempe
linea mathematica se habet ut unitas arithmetica, et utrobique partes non sunt
nisi possibiles et prorsus indefinitae; et non magis linea est aggregatum
linearum in quas secari potest, quam unitas est aggregatum fractionum in quas
potest discerpi” (G II, 268).
[14] “Aristotle a fort bien expliqué le plein et
la division du continu contre les atomistes”. Il testo risale agli
anni intorno al 1675 (A VI, 4, 2047). Una conoscenza diretta, anche se
parziale, delle opere di Aristotele è suggerita dalla corrispondenza di Leibniz
con Thomasius (A II, 12, 16-44), dove Leibniz argomenta sul fatto “che le
oscurità di Aristotele derivino dal fumo scolastico, e che lo stesso Aristotele
si conformi in modo sorprendente a Galileo, Bacone, Gassendi, Hobbes, Cartesio,
Digby” (A II, 12, 18). Sulla questione si veda Ugaglia (2022) e la letteratura secondaria
qui citata.
[15] “Quantitatem quoque habet materia, sed
interminatam, ut vocant Averroistae, seu indefinitam, dum enim continua est, in
partes secta non est, ergo nec termini in ea actu dantur”
(A II, 12, 26-27).
[16] La
lettura dell’infinito potenziale in Leibniz qui adottata è discussa, e
contestualizzata nel dibattito contemporaneo, in Ugaglia (2022).
[17] “Ponamus in linea actu dari 1/2, 1/4, 1/8,
1/16, 1/32 etc. omnesque seriei hujus terminos actu existere” (GM III, 536). L’esempio è proposto da Bernoulli a Leibniz in una lettera di poco
precedente dove si legge “Concipe aliquam magnitudinem determinatam dividi in
partes geometrica hac progressione descendentes 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + etc” (GM III, 529). Leibniz
riprende, fa suo e discute l’esempio.
[18]
“Nam omne corpus etiam quantulumcumque, meo senso, dividitur in partes actu, et
quidem non tantum mente assignabiles, sed et diversitate motuum reapse
discretas” (Leibniz a Joh. Bernoulli 1697; GM III, 447).
[19] A
II, 2, 122
[20] A
VI, 4, 1673-1674. Vale qui la pena di notare che l’accostamento tra sostanze e parti
ultime della materia non implica coincidenza tra i due concetti. Le sostanze, o
monadi, appartengono per Leibniz al regno della metafisica, non della fisica.
In quanto tali non sono oggetti materiali, e non possono pertanto in alcun modo
entrare nella composizione materiale di un corpo fisico. La peculiare relazione
che sussiste per Leibniz tra parti materiali e sostanze è tuttavia cruciale ai
fini dell’analisi dell’infinito in atto, e sarà trattata in dettaglio infra, nella
sezione 2.3.
[21] GP
II, 278.
[22] “Caeterum ut ab ideis Geometriae, ad realia
Physicae transeam; statuo materiam actu fractam esse in partes quavis data
minores, seu nullam esse partem, quae non actu in alias sit subdivisa diversos
motus exercentes”. La questione del moto come fattore che attualizza le parti di
un corpo fisico esula dagli scopi di questo lavoro. Tra i molti studi che se ne
occupano, mi sento di rimandare il lettore al poco noto Vidinsky (2008), dove l’argomento
è trattato in modo esaustivo e brillante.
[23] Lo
stralcio sopra riportato è parte di un lungo acceso scambio di opinioni con
Bernoulli. Sebbene l’argomento sia matematico, la discussione ha un’origine
fisica, e riguarda la divisione dei corpi fisici. L’affermazione di Leibniz,
secondo cui un corpo fisico è divisibile all’infinito ma le parti sono in atto,
è negata da Bernoulli, che non riesce (giustamente) a tradurla in termini
matematici. È qui che interviene l’argomento per ipotesi: supponiamo, afferma
Leibniz, che anche in matematica i tagli siano fissati… Bernoulli non accetterà
mai l’ipotesi di Leibniz, e l’argomento sarà lasciato cadere.
[24] Ricordiamo che per Aristotele il continuo – sia
esso di natura matematica o fisica – è un tutto che precede (dal punto di vista
fisico, logico e ontologico) le sue parti: può essere diviso in parti
potenzialmente infinite, ma non può essere costruito a partire da parti
infinite, perché ciò implicherebbe che le parti siano già in atto, e quindi
contraddirebbe l’assunto iniziale.
[25]
Questa fase del pensiero di Leibniz è testimoniata dalla corrispondenza con
Thomasius degli anni 1668-1669.
[26] Si
tratta, sul versante matematico, dell’introduzione degli infinitesimi e dei
cosiddetti “infiniti terminati”, che non trovano corrispettivo nella realtà
fisica. Su questo punto, l’autore si colloca nell’interpretazione
non-archimedea proposta da Sherry and Katz (2012), Katz and Sherry (2013), e
successivamente sviluppata in Katz et al. (2021). Per un’interpretazione
alternativa, che legge gli infinitesimi in senso sincategorematico, si veda
Levey (1998), Arthur (2013), Rabouin and Arthur (2020). Un’interpretazione più neutrale è offerta da Bos (1974) e
Knobloch (1999). Una panoramica dei vari approcci si trova nel volume curato da
Goldenbaum and Jesseph (2008).
[27] Ho
qui accennato brevemente al più evidente dei problemi che il concetto di un
infinito sincategorematico e attuale crea in matematica. Nonostante questi
problemi, la consistenza matematica del concetto viene difesa in Arthur (2013),
dove il termine “infinito sincategorematico attuale” viene introdotto e in
Arthur (2019) dove l’infinito fisico di Leibniz viene accostato a quello di
Cantor. Per una critica dettagliata ed esaustiva delle argomentazioni di Arthur
si veda Bussotti (2019).
[28] “Et c’est la confusion de l’idéal et de l’actuel qui a tout embrouillé et fait le
labyrinthe de compositione continui” (GP IV, 491).
[29] “Nos vero idealia cum substantiis realibus
confundentes, dum in possibilium ordine partes actuales, et in actualium
aggregato partes indeterminatas quaerimus, in labyrinthum continui
contradictionesque inexplicabiles nos ipsi induimus” (GP II, 282).
[30] “Mais quand je cherchay les derniers raisons
du Mechanisme et les loix mêmes du mouvement, je fus tout surpris de voir qu’il etoit impossible de les trouver dans les
Mathematiques, et qu’il falloit retourner à la Metaphysique. C’est ce qui me ramena aux Entelechies, et du
materiel au formel” (G III, 606).
[31] Il
senso del verbo “esprimere”, introdotto e discusso da Leibniz nella
corrispondenza con Arnault del settembre 1687 (A II, 2, 230-238), è argomento
di ampio dibattito, ricostruito in Garber (2009).
[32] La
modalità di composizione dei corpi fisici è discussa in Nunziante (2011) dove
sulla base dei testi viene proposta una interessante correlazione tra i lavori
di Leibniz e quelli di Hercule Savinien de Cyrano de Bergerac.
[33] La
nozione di infinito che riflette questa situazione, una nozione estranea alla
categoria della quantità, dell’estensione e della divisibilità, che Leibniz chiama ipercategorematico,
è studiata in Antognazza (2015). Sul legame tra la legge della serie, che dice
dove dividere il corpo fisico, e la legge degli stati interni della monade
dominante, che dice come stanno insieme le monadi, si veda Ugaglia (2022) in
particolare la nota 29. Per un’interpretazione differente della posizione di
Leibniz, in cui la realtà delle sostanze metafisiche implica la possibilità,
anche in fisica, di un infinito categorematico, si veda Pasini (2025).
[34]
“At in realibus, nempe corporibus, partes non sunt indefinitae (ut in spatio,
re mentali), sed actu assignatae certo modo, prout natura divisiones et
subdivisiones actu secundum motuum varietates instituit, et licet eae
divisiones procedant in infinitum, non ideo tamen minus omnia resultant ex
ceteris primis constitutivis seu unitatibus realibus, sed numero infinitis.
Accurate autem loquendo materia non componitur ex unitatibus constitutivis, sed
ex iis resultat” (GP II, 268).
[35] La
presente interpretazione ha senso solo in un contesto in cui le sostanze siano
interpretate come oggetti puramente metafisici, non come oggetti fisici (si
veda ad esempio Garber 2009 e la bibliografia qui citata). Solo in un tale
contesto, che è quello adottato da chi scrive, le sostanze possono essere
infinite in senso ipercategorematico, senza che ciò comporti che lo siano anche
in senso categorematico. Laddove invece si attribuisca alle sostanze un
carattere fisico (si veda ad esempio Phemister 1999), occorre giustificare in
altro modo il fatto che Leibniz neghi l’esistenza di un infinito
categorematico, in qualunque forma.